Question

by property of determinant
a b-c c+b
a+c b c-a
a-b b+a c =​(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}∆=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{b}-\mathrm{c}& \mathrm{c}+\mathrm{b}\\ \mathrm{a}+\mathrm{c}& \mathrm{b}& \mathrm{c}-\mathrm{a}\\ \mathrm{a}-\mathrm{b}& \mathrm{a}+\mathrm{b}& \mathrm{c}\end{array}\right| \\ \mathrm{Apply}{\mathrm{C}}_1={\mathrm{aC}}_1;{\mathrm{C}}_2={\mathrm{bC}}_2;{\mathrm{C}}_3={\mathrm{cC}}_3\mathrm{and}\mathrm{divide}\mathrm{the}∆\mathrm{by}\mathrm{abc},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ ∆=\frac{1}{\mathrm{abc}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{a}}^2& {\mathrm{b}}^2-\mathrm{bc}& {\mathrm{c}}^2+\mathrm{bc}\\ {\mathrm{a}}^2+\mathrm{ac}& {\mathrm{b}}^2& {\mathrm{c}}^2-\mathrm{ac}\\ {\mathrm{a}}^2-\mathrm{ab}& \mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2& {\mathrm{c}}^2\end{array}\right| \\ \mathrm{Applying}{\mathrm{C}}_1={\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2+{\mathrm{C}}_3,\mathrm{we}\mathrm{get} \\ ∆=\frac{1}{\mathrm{abc}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2& {\mathrm{b}}^2-\mathrm{bc}& {\mathrm{c}}^2+\mathrm{bc}\\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2& {\mathrm{b}}^2& {\mathrm{c}}^2-\mathrm{ac}\\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2& \mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2& {\mathrm{c}}^2\end{array}\right| \\ \Rightarrow ∆=\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}{\mathrm{abc}}\left|\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{b}}^2-\mathrm{bc}& {\mathrm{c}}^2+\mathrm{bc}\\ 1& {\mathrm{b}}^2& {\mathrm{c}}^2-\mathrm{ac}\\ 1& \mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2& {\mathrm{c}}^2\end{array}\right| \\ \mathrm{Applying}{\mathrm{R}}_1={\mathrm{R}}_1-{\mathrm{R}}_2\mathrm{and}{\mathrm{R}}_2={\mathrm{R}}_2-{\mathrm{R}}_3,\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \Rightarrow ∆=\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}{\mathrm{abc}}\left|\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{bc}& \mathrm{bc}+\mathrm{ac}\\ 0& -\mathrm{ab}& -\mathrm{ac}\\ 1& \mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2& {\mathrm{c}}^2\end{array}\right| \\ \Rightarrow ∆=\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}{\mathrm{abc}}\left[1\left\{{\mathrm{abc}}^2+\mathrm{ab}\left(\mathrm{bc}+\mathrm{ac}\right)\right\}\right] \\ \Rightarrow ∆=\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}{\mathrm{abc}}\left[{\mathrm{abc}}^2+{\mathrm{ab}}^2\mathrm{c}+{\mathrm{a}}^2\mathrm{bc}\right] \\ \Rightarrow ∆=\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}{\mathrm{abc}}\times \mathrm{abc}\left(\mathrm{c}+\mathrm{b}+\mathrm{a}\right) \\ \Rightarrow ∆=\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right) \end{gathered}$$