Question

By using properties of determination, show that
$\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& -2b\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|={(1+a^2+b^2)}^3$

Answer 1

$\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& -2b\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

$c_1\Rightarrow c_1-b{c}_3$; $c_2\Rightarrow c_2+a{c}_3$

$\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2& 0& -2b\\ 0& 1+a^2+b^2& 2a\\ 2b-b(1-a^2-b^2)& -2a+a(1-a^2-b^2)& 1-a^2-b^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2& 0& -2b\\ 0& 1+a^2+b^2& 2a\\ 2b-b+b(a^2+b^2)& -2a+a-a(a^2+b^2)& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2& 0& -2b\\ 0& 1+a^2+b^2& 2a\\ b(1+a^2+b^2)& -a(1+a^2+b^2)& 1-a^2-b^2\end{array}\right|={(1+a^2+b^2)}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -2b\\ 0& 1& 2a\\ b& -a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

$={(1+a^2+b^2)}^2(1+a^2+b^2)={(1+a^2+b^2)}^3$