Question

Calculate the area of the region bounded by the parabolas y² = x and x² = y.

Answer 1

$$\begin{gathered} y^2=x\mathrm{is}a\mathrm{parabola},\mathrm{opening}\mathrm{sideways},\mathrm{with}\mathrm{vertex}\mathrm{at}\mathrm{O}(0,0)\mathrm{and}+\mathrm{ve}x-\mathrm{axis}\mathrm{as}\mathrm{axis}\mathrm{of}\mathrm{symmetry} \\ {x}^2=y\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parabola},\mathrm{opening}\mathrm{upwards},\mathrm{with}\mathrm{vertex}\mathrm{at}\mathrm{O}(0,0)\mathrm{and}+\mathrm{ve}y-\mathrm{axis}\mathrm{as}\mathrm{axis}\mathrm{of}\mathrm{symmetry} \\ \mathrm{Soving}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{two}\mathrm{equations}, \\ {x}^2=y^4=y \\ \Rightarrow y^4-y=0 \\ \Rightarrow y=0\mathrm{or}y=1. \\ \mathrm{So},x=0\mathrm{or}x=1 \\ \Rightarrow \mathrm{O}\left(0,0\right)\mathrm{and}\mathrm{A}(1,1)\mathrm{are}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{curves} \\ \mathrm{Consider}\mathrm{a}\mathrm{vertical}\mathrm{strip}\mathrm{of}\mathrm{length}=\left|y_2-y_1\right|\mathrm{and}\mathrm{width}=dx \\ \Rightarrow \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{approximating}\mathrm{rectangle}=\left|{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right|dx \\ \mathrm{Approximating}\mathrm{rectangle}\mathrm{moves}\mathrm{from}x=0\mathrm{to}x=1 \\ \Rightarrow \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{shaded}\mathrm{region}={\int }_0^1\left|y_2-y_1\right|dx \\ \Rightarrow A={\int }_0^1\left(y_2-y_1\right)dx\left[\mathrm{As},y_2-y_1>0\Rightarrow \left|y_2-y_1\right|=y_1\right] \\ \Rightarrow A={\int }_0^1\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx \\ \Rightarrow A={\left[\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1 \\ \Rightarrow A=\left[\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1^3}{3}-0\right] \\ \Rightarrow A=\frac{2}{3}-\frac{1}{3} \\ \Rightarrow A=\frac{1}{3}\mathrm{sq}.\mathrm{units} \\ \mathrm{Thus},\mathrm{area}\mathrm{enclosed}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{curves}=\frac{1}{3}\mathrm{sq}.\mathrm{units} \end{gathered}$$