Question

calculate the mean deviation about mean of the set of first n natural numbers when n is an odd natural number

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{First}\mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}\mathrm{where}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{odd} \\ \mathrm{natural}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Note}\mathrm{that}, \\ 1+2+3=6=3\times 2=\frac{3\times 4}{2}=\frac{3\times \left(3+1\right)}{2} \\ 1+2+3+4+5=15=5\times 3=\frac{5\times 6}{2}=\frac{5\times \left(5+1\right)}{2} \\ 1+2+3+4+5+6+7=28=7\times 4=\frac{7\times 8}{2}=\frac{7\times \left(7+1\right)}{2} \\ ⋮ \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}\mathrm{where}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{odd}\mathrm{natural} \\ \mathrm{number}\mathrm{is}, \\ \frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2} \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{mean}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}\mathrm{when}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{odd}\mathrm{natural} \\ \mathrm{number}\mathrm{is}, \\ \overline{\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{n}}\times \frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}=\frac{\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \\ \mathrm{The}\mathrm{mean}\mathrm{deviation}\mathrm{about}\mathrm{mean}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{mean}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{natural}\mathrm{numbers} \\ \mathrm{when}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{odd}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{is}, \\ \mathrm{mean}\mathrm{deviation}=\frac{{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}}}\left|{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right|}{\mathrm{n}} \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{\mathrm{n}}\left[\left|1-\frac{\mathrm{n}}{2}\right|+\left|2-\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right|+\cdots +\left|\mathrm{n}-\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right|\right] \\ =\frac{{\displaystyle 2}}{\mathrm{n}}\left[\frac{\left(\frac{\mathrm{n}-1}{2}\right)\left(\frac{\mathrm{n}-1}{2}+1\right)}{2}\right] \\ =\frac{{\displaystyle 2}}{\mathrm{n}}\left[\frac{\left(\mathrm{n}-1\right)\left(\mathrm{n}+1\right)}{8}\right] \\ =\frac{\mathbf{}{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{4}\mathbf{n}} \end{gathered}$$