Question

check whether 12^n end with the digit 0 or 5 for any natural number N

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{us}\mathrm{assume}\mathrm{that}{\left(12\right)}^{\mathrm{n}}\mathrm{ends}\mathrm{with}\mathrm{digit}0. \\ \mathrm{So},{\left(12\right)}^{\mathrm{n}}=10\mathrm{q} \\ \Rightarrow {\left(2\times 2\times 3\right)}^{\mathrm{n}}=2\times 5\times \mathrm{q} \\ \Rightarrow 2^{2\mathrm{n}}\times 3^{\mathrm{n}}=2\times 5\times \mathrm{q} \\ \Rightarrow 5\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{prime}\mathrm{factor}\mathrm{of}{2}^{2\mathrm{n}}\times 3^{\mathrm{n}}. \\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{possible},\mathrm{as}{2}^{2\mathrm{n}}\times 3^{\mathrm{n}}\mathrm{can}\mathrm{have}\mathrm{only}2\mathrm{and}3\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{prime}\mathrm{factors}. \\ \mathrm{Hence},{\left(12\right)}^{\mathrm{n}}\mathrm{can}\mathrm{not}\mathrm{end}\mathrm{with}\mathrm{digit}0. \end{gathered}$$