Question

Classify the following numbers as rational or irrational. Give reasons to support your answer:
(i) $\sqrt{4}$
(ii) $\sqrt{196}$
(iii) $\sqrt{21}$
(iv) $\sqrt{43}$
(v) $3+\sqrt{3}$
(vi) $\sqrt{7}-2$
(vii) $\frac{2}{3}\sqrt{6}$
(viii) $0.\overline{6}$
(ix) 1.232332333...
(x) 3.040040004....
(xi) 3.2576
(xii) 2.356565656...
(xiii) $\mathrm{\pi }$
(xiv) $\frac{22}{7}$

Answer 1

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right)\sqrt{4}=2 \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \left(\mathrm{ii}\right)\sqrt{196}=14 \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \left(\mathrm{iii}\right)\sqrt{21}=\sqrt{3}\times \sqrt{7}=4.58257... \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \left(\mathrm{iv}\right)\sqrt{43} \\ \mathrm{If}a\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{integer},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{perfect}\mathrm{square},\mathrm{then}\sqrt{\mathrm{a}}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Here},43\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{perfect}\mathrm{square},\mathrm{so}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{irrational}. \\ \left(\mathrm{v}\right)3+\sqrt{3} \\ \mathrm{The}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}.\mathrm{So},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \left(\mathrm{vi}\right)\sqrt{7}-2 \\ \mathrm{The}\mathrm{difference}\mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number},\mathrm{so}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \left(\mathrm{vii}\right)\frac{2}{3}\sqrt{6} \\ \mathrm{The}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number},\mathrm{so}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \left(\mathrm{viii}\right).666666\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{repeating}\mathrm{decimal}. \\ \left(\mathrm{ix}\right)1.232332333...\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{non}-\mathrm{terminating},\mathrm{non}-\mathrm{repeating}\mathrm{decimal}. \\ \left(\mathrm{x}\right)3.040040004...\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{non}-\mathrm{terminating},\mathrm{non}-\mathrm{repeating}\mathrm{decimal}. \\ \left(\mathrm{xi}\right)3.2576\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{terminating}\mathrm{decimal}. \\ \left(\mathrm{xii}\right)2.356565656...\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{repeating}. \\ \left(\mathrm{xiii}\right)\mathrm{\pi }=3.14285...\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{non}-\mathrm{terminating},\mathrm{non}-\mathrm{repeating}\mathrm{decimal}. \\ \left(\mathrm{xiv}\right)\frac{22}{7}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{expressed}\mathrm{in}\mathrm{the}\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\mathrm{form}. \end{gathered}$$