Question

Construct a $4\times 3$ matrix $A=\left[a_{ij}\right]$, whose element $a_{ij}$ is $a_{ij}=\frac{i-j}{i+j}$.

Answer 1

$a_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}\end{array}\right]$

Here, $a_{ij}=\frac{i-j}{i+j}$

$a_{ij}$	$i=,j=$	$\frac{i-j}{i+j}$
$a_{11}$	$i=1,j=1$	$\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0$
$a_{12}$	$i=1,j=2$	$\frac{1-2}{1+2}=\frac{-1}{3}$
$a_{13}$	$i=1,j=3$	$\frac{1-3}{1+3}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$
$a_{21}$	$i=2,j=1$	$\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$
$a_{22}$	$i=2,j=2$	$\frac{2-2}{2+2}=0$
$a_{23}$	$i=2,j=3$	$\frac{2-3}{2+3}=\frac{-1}{5}$
$a_{31}$	$i=3,j=1$	$\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$a_{32}$	$i=3,j=2$	$\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}$
$a_{33}$	$i=3,j=3$	$\frac{3-3}{3+3}=0$
$a_{41}$	$i=4,j=1$	$\frac{4-1}{4+1}=\frac{3}{5}$
$a_{42}$	$i=4,j=2$	$\frac{4-2}{4+2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$a_{43}$	$i=4,j=3$	$\frac{4-3}{4+3}=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow$ The required matrix is $\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{-1}{3}& \frac{-1}{2}\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{-1}{5}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{5}& 0\\ \frac{3}{5}& \frac{1}{3}& \frac{1}{7}\end{array}\right]$