Question

Construct any $△$ABC. Find a point on side BC which is equidistant from sides AB and AC. Justify your construction.

Answer 1

Steps of construction :

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right)\mathrm{Draw}\mathrm{any}△\mathrm{ABC}.\mathrm{Bisect}\angle \mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{draw}\mathrm{its}\mathrm{angle}\mathrm{bisector}\mathrm{passing} \\ \mathrm{through}\mathrm{BC}. \\ \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{Let}\mathrm{it}\mathrm{intersect}\mathrm{BC}\mathrm{at}\mathrm{P}. \\ \left(\mathrm{iii}\right)\mathrm{Draw}\mathrm{perpendiculars}\mathrm{from}\mathrm{P}\mathrm{on}\mathrm{AB}\mathrm{and}\mathrm{AC},\mathrm{naming}\mathrm{them}\mathrm{PX} \\ \mathrm{and}\mathrm{PY},\mathrm{respectively}. \\ \left(\mathrm{iv}\right)\mathrm{Measure}\mathrm{PX}\mathrm{and}\mathrm{PY}.\mathrm{We}\mathrm{observe}\text{that} \\ \mathrm{PX}=\hspace{0.17em}\mathrm{PY} \\ \left(\mathrm{v}\right)\mathrm{Thus},\mathrm{P}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{AB}\mathrm{and}\mathrm{AC}. \\ \mathrm{Justification}: \\ \mathrm{By}\mathrm{angle}-\mathrm{bisector}\mathrm{theorem},\mathrm{P}\mathrm{is}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{AB}\mathrm{and}\mathrm{AC}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{PX}=\hspace{0.17em}\mathrm{PY}. \end{gathered}$$