Question

Construct any acute angled $△$PQR. Find a point in its interior which is equidistant from points P,Q and R. Use compass, justify your construction.

Answer 1

Steps of construction :

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right)\mathrm{Draw}\mathrm{an}\mathrm{acute}\mathrm{traingle}△\mathrm{PQR}. \\ \left(\mathrm{iI}\right)\mathrm{Draw}\mathrm{the}\mathrm{perpendicular}\mathrm{bisectors}\mathrm{of}\mathrm{sides}\mathrm{PQ},\mathrm{QR}\mathrm{and}\mathrm{PR}. \\ \left(\mathrm{iii}\right)\mathrm{Let}\mathrm{them}\mathrm{intersect}\mathrm{at}\mathrm{O}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interior}\mathrm{of}△\mathrm{PQR}. \\ \left(\mathrm{iv}\right)\mathrm{Name}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{A},\mathrm{B}\mathrm{and}\mathrm{C}\mathrm{where}\mathrm{perpendicular}\mathrm{bisectors}\mathrm{intersect}\mathrm{the}\mathrm{sides}. \\ \left(\mathrm{v}\right)\mathrm{Measure}\mathrm{OA},\mathrm{OB}\mathrm{and}\mathrm{OC}.\mathrm{We}\mathrm{observe}\text{that} \\ \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC} \\ \mathrm{Justification}: \\ \mathrm{By}\mathrm{perpendicular}-\mathrm{bisector}\mathrm{theorem},\mathrm{O}\mathrm{is}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{P},\mathrm{Q}\mathrm{and}\mathrm{R}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}. \end{gathered}$$