Question

$\cos 3x+\cos 2x=\sin \left(\frac{3x}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}\right),0\le x\le 2\pi$

Answer 1

$\cos 3x+\cos 2x=\sin \left(\frac{3x}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}\right),0\le x\le 2\pi$

Apply $\cos C+\cos D=2\cos \left(\frac{C+D}{2}\right)\cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$

$\sin C+\sin D=2\sin \left(\frac{C+D}{2}\right)\cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$

$\Rightarrow 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=2\sin x\cos \frac{x}{2}$

$\Rightarrow \cos \frac{5x}{2}=\sin x$

$\Rightarrow \frac{\pi }{2}-x=\frac{5x}{2}$

$\Rightarrow \frac{7x}{2}=\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{7}$