Question

Derive Newton's third law of motion from law of conservation of momentum.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{an}\mathrm{isolated}\mathrm{system}\mathrm{in}\mathrm{which}\mathrm{two}\mathrm{bodies}\mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{B}\mathrm{collide}.\mathrm{Let}\overrightarrow{F_1}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{force}\mathrm{exerted} \\ \mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{body}\mathrm{A}\mathrm{on}\mathrm{B}\mathrm{for}\mathrm{time}∆t.\mathrm{Let}{\overrightarrow{\mathit{F}}}_2\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{force}\mathrm{exerted}\mathrm{by}\mathrm{body}\mathrm{B}\mathrm{on}\mathrm{A}\mathrm{for}\mathrm{time}∆t\mathit{.} \\ \mathrm{Now},\mathrm{change}\mathrm{in}\mathrm{linear}\mathrm{momentum} \\ =\mathrm{Force}\times \mathrm{time} \\ \mathrm{Change}\mathrm{in}\mathrm{linear}\mathrm{momentum}\mathrm{of}\mathrm{B} \\ =\overrightarrow{{\mathit{F}}_{\mathit{1}}}\times ∆t \\ \mathrm{Change}\mathrm{in}\mathrm{linear}\mathrm{momentum}\mathrm{of}\mathrm{A} \\ \mathit{=}\overrightarrow{{\mathit{F}}_{\mathit{2}}}\times ∆t \\ \mathrm{Total}\mathrm{change}\mathrm{in}\mathrm{linear}\mathrm{momentum}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{B} \\ ={\overrightarrow{F}}_1\times ∆t+\overrightarrow{F_2}\times ∆t \\ \mathrm{As}\mathrm{no}\mathrm{external}\mathrm{force}\mathrm{acting}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{system},\mathrm{therefore}\mathrm{according} \\ \mathrm{to}\mathrm{newton}\text{'}\mathrm{s}\mathrm{second}\mathrm{law}\mathrm{of}\mathrm{motion},\mathrm{the}\mathrm{total}\mathrm{change}\mathrm{in}\mathrm{linear} \\ \mathrm{momentum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{system}\mathrm{is}\mathrm{zero}. \\ \overrightarrow{{\mathit{F}}_{\mathit{1}}}∆t+{\overrightarrow{\mathit{F}}}_2∆t=0 \\ \Rightarrow \overrightarrow{F_1}∆t=-\overrightarrow{F_2}∆t \\ \Rightarrow \overrightarrow{F_1}=-\overrightarrow{F_2} \end{gathered}$$