Question

DERIVE THE EQUATION OF MOTION FOR FREELY FALLING BODY?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Answer} \\ \mathrm{A}\mathrm{free}\mathrm{fall}\mathrm{occurs}\mathrm{for}\mathrm{an}\mathrm{object}\mathrm{only}\mathrm{due}\mathrm{to}\mathrm{free}\mathrm{fall}\mathrm{acceleration}\mathrm{and}\mathrm{hence}\mathrm{its}\mathrm{parameters}\mathrm{of}\mathrm{motion}\mathrm{are} \\ \mathrm{independent}\mathrm{of}\mathrm{its}\mathrm{mass},\mathrm{when}\mathrm{you}\mathrm{ignore}\mathrm{the}\mathrm{air}\mathrm{resistance}.\mathrm{Normally},\mathrm{the}\mathrm{air}\mathrm{resistance}\mathrm{is}\mathrm{very}\mathrm{low}\mathrm{except} \\ \mathrm{in}\mathrm{cases}\mathrm{of}\mathrm{objects}\mathrm{with}\mathrm{large}\mathrm{areas}\mathrm{and}\mathrm{hence}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{safe}\mathrm{bet}\mathrm{to}\mathrm{ignore}\mathrm{that}.\mathrm{But}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{time}\mathrm{one}\mathrm{must} \\ \mathrm{realize}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{force}\mathrm{acquired}\mathrm{by}\mathrm{an}\mathrm{object}\mathrm{under}\mathrm{free}\mathrm{fall}\mathrm{is}\mathrm{certainly}\mathrm{proportional}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{mass}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{object}. \\ \mathrm{In}\mathrm{fact}\mathrm{such}\mathrm{force}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{object}\mathrm{is}\mathrm{nothing}\mathrm{but}\mathrm{the}\mathrm{Net}\mathrm{Weight}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{object}\mathrm{and}\mathrm{also}\mathrm{its}\mathrm{momentum}\mathrm{as}\mathrm{it}\mathrm{hits}\mathrm{the} \\ \mathrm{ground}(\mathrm{mass}\mathrm{times}\mathrm{the}\mathrm{final}\mathrm{velocity})\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{mass}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{object} \\ \mathrm{The}\mathrm{equations}\mathrm{of}\mathrm{motions}\mathrm{applicable}\mathrm{to}\mathrm{free}\mathrm{falls}\mathrm{are}\mathrm{called}\mathrm{Free}\mathrm{Fall}\mathrm{Equations}\mathrm{or}\mathrm{Free}\mathrm{Fall}\mathrm{Formulas}.\mathrm{These} \\ \mathrm{equations}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{derived}\mathrm{from}\mathrm{first}\mathrm{principles}. \\ \mathrm{Let}\mathrm{us}\mathrm{derive}\mathrm{the}\mathrm{three}\mathrm{important}\mathrm{free}\mathrm{fall}\mathrm{equations}\mathrm{considering}\mathrm{the}\mathrm{free}\mathrm{fall}\mathrm{without}\mathrm{air}\mathrm{resistance}.\mathrm{Let}\mathrm{us}\mathrm{assume} \\ ‘\mathrm{v}’\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{final}\mathrm{velocity},‘\mathrm{h}’\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{height}\mathrm{and}‘\mathrm{t}’\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{time}\mathrm{related}\mathrm{to}\mathrm{a}\mathrm{free}\mathrm{fall}.\mathrm{Obviously}\mathrm{the}\mathrm{initial}\mathrm{velocity}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{free} \\ \mathrm{fall}\mathrm{is}0\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{acceleration}\mathrm{in}\mathrm{this}\mathrm{case}\mathrm{is}‘\mathrm{g}’.\mathrm{The}\mathrm{final}\mathrm{velocity}\mathrm{is}\mathrm{generally}\mathrm{defined}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{initial}\mathrm{velocity} \\ \mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{acceleration}\mathrm{and}\mathrm{time}. \\ \mathrm{therefore},\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{free}\mathrm{fall} \\ \mathrm{v}=0+\mathrm{gt}.....................1 \\ \mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{free}\mathrm{fall}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{derived}\mathrm{as}\mathrm{follows} \\ \mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{covered}\mathrm{by}\mathrm{an}\mathrm{object}\mathrm{in}\mathrm{any}\mathrm{motion}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{average}\mathrm{velocity}\mathrm{and}\mathrm{time} \\ \mathrm{therefore},\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{free}\mathrm{fall} \\ \mathrm{h}=\frac{1}{2}(\mathrm{v}+0)\mathrm{t}=\frac{1}{2}\mathrm{gt}\times \mathrm{t} \\ \mathrm{h}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.........................2 \\ ‘\mathrm{t}’\mathrm{from}\mathrm{these}\mathrm{two}\mathrm{equations}\mathrm{to}\mathrm{arrive}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{third}\mathrm{free}\mathrm{fall}\mathrm{equation} \\ \mathrm{h}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2\mathrm{or}\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2=\mathrm{h} \\ \frac{1}{2}{\mathrm{g}}^2{\mathrm{t}}^2=\mathrm{gh} \\ \mathrm{by}\mathrm{using}\mathrm{first}\mathrm{equation} \\ \frac{1}{2}{\mathrm{v}}^2=\mathrm{gh} \\ {\mathrm{v}}^2=2\mathrm{gh} \end{gathered}$$