Question

Determine the area under the curve y = $\sqrt{a^2-x^2}$ included between the lines x = 0 and x = a.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{have}, \\ y=\sqrt{a^2-x^2} \\ \Rightarrow y^2=a^2-x^2 \\ \Rightarrow x^2+y^2=a^2 \\ \mathrm{Since}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{equation}{x}^2+y^2=a^2,\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{both}x\mathrm{and}y\mathrm{are}\mathrm{even},\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{is}\mathrm{symmetrical}\mathrm{about}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{axis}. \\ \therefore \mathrm{Required}\mathrm{area}=\mathrm{area}\mathrm{enclosed}\mathrm{by}\mathrm{circle}\mathrm{in}\mathrm{first}\mathrm{quadrant} \\ (a,0),(-a,0)\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{curve}\mathrm{and}x-\mathrm{axis} \\ (0,a),(0,-a)\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{curve}\mathrm{and}y-\mathrm{axis} \\ \mathrm{Slicing}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{quadrant}\mathrm{into}\mathrm{vertical}\mathrm{stripes}\mathrm{of}\mathrm{height}=\left|y\right|\mathrm{and}\mathrm{width}=dx \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{approximating}\mathrm{rectangle}=\left|y\right|dx \\ \mathrm{Approximating}\mathrm{rectangle}\mathrm{can}\mathrm{move}\mathrm{between}x=0\mathrm{and}x=a \\ A=\mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{enclosed}\mathrm{curve}\mathrm{in}\mathrm{first}\mathrm{quadrant}={\int }_0^a\left|y\right|dx \\ \Rightarrow A={\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx \\ ={\left[\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+\frac{1}{2}{a}^2{\sin }^{-1}\frac{x}{a}\right]}_0^a \\ =\frac{1}{2}{a}^2{\sin }^{-1}1 \\ =\frac{1}{2}{a}^2\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ =\frac{a^2\mathrm{\pi }}{4}\mathrm{sq}\mathrm{units} \end{gathered}$$