Question

$\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\frac{1}{\mathrm{3.4.5}}+....+\frac{1}{m\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Answer 1

$S=\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+....+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}S=\sum \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\sum \frac{1}{n+1}\left(\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})\right)=\frac{1}{2}\sum (\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})=\frac{1}{2}\sum [(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})-(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})]=\frac{1}{2}\sum [(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+....+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})-(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})]=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}]=\frac{1}{4}[1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}]=\frac{1}{4}\frac{(n^2+3n)}{(n+1)(n+2)}S=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$