Question

Diagonals AC and BD of a trapezium ABCD with AB || DC intersect each other at O. Prove that ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC).

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:\mathrm{In}\mathrm{trapezium}\mathrm{ABCD},\mathrm{AB}\parallel \mathrm{DC}. \\ \mathrm{To}\mathrm{prove}:\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{AOD}\right)=\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{BOC}\right) \\ \mathrm{Proof}: \\ \mathrm{Since},∆\mathrm{ADC}\mathrm{and}∆\mathrm{BCD}\mathrm{are}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{base}\mathrm{DC}\mathrm{and}\mathrm{between}\mathrm{same}\mathrm{parallel}\mathrm{lines}\mathrm{AB}\mathrm{and}\mathrm{DC}. \\ \mathrm{So},\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{ADC}\right)=\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{BDC}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{ar}\left(∆\mathrm{ADC}\right)-\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{DOC}\right)=\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{BDC}\right)-\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{DOC}\right) \\ \therefore \mathrm{ar}\left(∆\mathrm{AOD}\right)=\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{BOC}\right) \end{gathered}$$