Question

Differentiate $y={\sin }^{-1}\left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)$ w.r.t $x$.

Answer 1

$y={\sin }^{-1}\left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)$

$\Rightarrow \sin y=\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}$

$\Rightarrow \cos y\frac{dy}{dx}=\frac{(b+a\cos x)\frac{d(a+b\cos x)}{dx}-(a+b\cos x)\frac{d(b+a\cos x)}{dx}}{{(b+a\cos x)}^2}$

$=\frac{(b+a\cos x)(-b\sin x)-(a+b\cos x)(-a\sin x)}{{(b+a\cos x)}^2}$

$=\frac{-b^2\sin x-ab\sin x\cos x+a^2\sin x+ab\sin x\cos x}{{(b+a\cos x)}^2}$

$\sin y=\frac{(a^2-b^2)\sin x}{{(b+a\cos x)}^2}$

$\Rightarrow y={\sin }^{-1}\left(\frac{(a^2-b^2)\sin x}{{(b+a\cos x)}^2}\right)$