Question

$A{\log }_e(1+x)-{\log }_{e}x-[\frac{1}{(1+x{)}^3}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+x{)}^6}+\frac{1}{3}\frac{1}{(1+x{)}^9}+...]={\log }_{e}1+(1+x)+(1+x{)}^2$ Value of $A$ is?

• A. $4$
• B. $-3$
• C. $3$
• D. $2$

Answer 1

Answer: (C)

$3$

Given
$A{\log }_e(1+x)-{\log }_{e}x-[\frac{1}{(1+x{)}^3}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+x{)}^6}+\frac{1}{3}\frac{1}{(1+x{)}^9}+...]={\log }_{e}1+(1+x)+(1+x{)}^2$ ......(1)
Consider, $A{\log }_e(1+x)-{\log }_{e}x-[\frac{1}{(1+x{)}^3}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+x{)}^6}+\frac{1}{3}\frac{1}{(1+x{)}^9}+...]$
$=A{\log }_e(1+x)-{\log }_{e}x+{\log }_e(1-\frac{1}{(1+x{)}^3})$
$=A{\log }_e(1+x)-{\log }_{e}x+{\log }_e\left(\frac{(1+x{)}^3-1}{(1+x{)}^3}\right)$
$=A{\log }_e(1+x)-{\log }_{e}x+{\log }_e\left(\frac{x^3+3x^2+3x}{(1+x{)}^3}\right)$
$=A{\log }_e(1+x)-{\log }_{e}x+{\log }_e(x^3+3x^2+3x)-3{\log }_e(1+x)$
$=(A-3){\log }_e(1+x)+{\log }_{e}1+{\log }_e(x^2+3x+3)$ ....(2)
So from eqn (1) and (2),
$(A-3){\log }_e(1+x)+{\log }_{e}1+{\log }_e(x^2+3x+3)={\log }_{e}1+(1+x)+(1+x{)}^2$
On comparing $A-3=0$
$\Rightarrow A=3$