Question

${\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}}$

Answer 1

$I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}}$

$\Rightarrow I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{dx}{1+\sqrt{\cot (\frac{\pi }{2}-x)}}={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$

$\Rightarrow 2I={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{1}{1+\sqrt{\cot x}}+{\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{1}{1+\sqrt{\tan x}}dx$

$={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{1+\sqrt{\tan x}+1+\sqrt{\cot x}}{(1+\sqrt{\cot x})(1+\sqrt{\tan x})}dx$

$={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{2+\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}}{2+\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}}dx$

$\Rightarrow 2I=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$

$I=\frac{\pi }{12}$

Hence, the answer is $\frac{\pi }{12}.$