Question

$\int \tan x\tan 2x\tan 3xdx$.

Answer 1

$\int \tan x\tan 2x\tan 3xdx$.......(1)

$\tan (2x+x)=\tan 3x$

$\tan 3x=\frac{\tan x+\tan 2x}{1-\tan x\tan 2x}$

$\tan 3x-\tan x\tan 2x\tan 3x=\tan x+\tan 2x=\tan x\tan 2x\tan 3x=\tan 3x-\tan x-\tan 2x$

Put in $\left(1\right)$

$=\int (\tan 3x-\tan x-\tan 2x)dx$

$=\frac{\log |\sec 3x|}{3}-\frac{\log |\sec 2x|}{2}-\log |\sec x|+c$

$\log \left|\frac{(\sec 3x{)}^{\frac{1}{3}}}{\left(\sec 2x{)}^{\frac{1}{2}}\right(\sec x)}\right|+c$