Question

$limn\to \infty (\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)=$

• A. $\frac{a-b}{2}$
• B. $\frac{a-b}{3}$
• C. $\frac{a+b}{2}$
• D. $\frac{a+b}{3}$

Answer 1

The correct option is C $\frac{a+b}{2}$

$\underset{x\to \infty }{lim}$ $\frac{(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x)}{(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x)}$

$=\underset{x\to \infty }{lim}$ $\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x)}$

$=\underset{x\to \infty }{lim}$ $\frac{x^2+x(a+b)+ab-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}$

$=\underset{x\to \infty }{lim}$ $\frac{x(a+b)+ab}{x[\sqrt{(1+\frac{a}{x})(1+\frac{b}{x})}\pm 1]}$

$=\underset{x\to \infty }{lim}$ $\frac{x[(a+b)+ab/x]}{x[\sqrt{(1+a/x)(1+b/x)}+1]}=\frac{ab}{1+1}=\frac{a+b}{2}$