Question

Draw a rough sketch of the graph of the curve $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ and evaluate the area of the region under the curve and above the x-axis.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Since}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{equation}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1,\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{both}x\mathrm{and}y\mathrm{are}\mathrm{even},\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{is}\mathrm{symmetrical}\mathrm{about}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{axis}. \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{encloed}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{and}\mathrm{above}\mathrm{x}\mathrm{axis}=\mathrm{area}{\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{BA}=2\times \mathrm{area}\mathrm{enclosed}\mathrm{by}\mathrm{ellipse}\mathrm{and}\mathit{}x-\mathrm{axis}\mathrm{in}\mathrm{first}\mathrm{quadrant} \\ (2,0),(-2,0)\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{curve}\mathrm{and}x-\mathrm{axis} \\ (0,3),(0,-3)\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{curve}\mathrm{and}y-\mathrm{axis} \\ \mathrm{Slicing}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{quadrant}\mathrm{into}\mathrm{vertical}\mathrm{stripes}\mathrm{of}\mathrm{height}=\left|y\right|\mathrm{and}\mathrm{width}=dx \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{approximating}\mathrm{rectangle}=\left|y\right|dx \\ \mathrm{Approximating}\mathrm{rectangle}\mathrm{can}\mathrm{move}\mathrm{between}\mathrm{x}=0\mathrm{and}\mathrm{x}=2 \\ A=\mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{enclosed}\mathrm{curve}\mathrm{above}x-\mathrm{axis}=2{\int }_0^2\left|y\right|dx \\ \Rightarrow A=2{\int }_0^{2}ydx \\ \Rightarrow A=2{\int }_0^2\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}dx \\ \Rightarrow A=3{\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx \\ \Rightarrow A=3{\left[\frac{1}{2}x\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}4{\sin }^{-1}x\right]}_0^2 \\ =3\left[0+\frac{1}{2}\times 4{\sin }^{-1}1\right]=3\times \frac{1}{2}\times 4\times \frac{\mathrm{\pi }}{2}=3\mathrm{\pi }\mathrm{sq}.\mathrm{units} \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{enclosed}\mathrm{region}\mathrm{above}x-\mathrm{axis}=3\mathrm{\pi }\mathrm{sq}.\mathrm{units} \end{gathered}$$