Question

Evaluate :

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& bc\\ 1& b& ca\\ 1& c& ab\end{array}\right|$

Answer 1

$$\begin{gathered} ∆=\left|\begin{array}{ccc}1& a& bc\\ 1& b& ca\\ 1& c& ab\end{array}\right| \\ \mathrm{When}a=b,\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{two}\mathrm{rows}\mathrm{become}\mathrm{identical}.\mathrm{Hence},a-bisafactor. \\ \mathrm{Similarly},\mathrm{when}b=c\mathrm{and}c=a,\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{and}\mathrm{third}\mathrm{and}\mathrm{third}\mathrm{and}\mathrm{first}\mathrm{rows}\mathrm{become}\mathrm{identical}.\mathrm{Hence},b-c\mathrm{and}c-a\mathrm{are}\mathrm{also}\mathrm{factors}. \\ \mathrm{The}\mathrm{degree}\mathrm{of}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{diagonal}\mathrm{elements}\mathrm{is}3.\mathrm{Hence},\mathrm{there}\mathrm{are}\mathrm{no}\mathrm{other}\mathrm{factors}. \\ \left|\begin{array}{ccc}1& a& bc\\ 1& b& ca\\ 1& c& ab\end{array}\right|=\lambda (a-b)(b-c)(c-a)\left[\mathrm{Where}\mathrm{\lambda }\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{constant}\right] \\ \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 0\\ 1& 2& 0\end{array}\right|=2\lambda \left[\mathrm{Putting}a=0,b=1\mathrm{and}c=2\mathrm{to}\mathrm{find}\mathrm{\lambda }\right] \\ \Rightarrow 2=2\lambda \\ \Rightarrow \lambda =1 \\ Hence, \\ \left|\begin{array}{ccc}1& a& bc\\ 1& b& ca\\ 1& c& ab\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a) \end{gathered}$$