Question

evaluate and integrate sin^-1x-cos^-1x/ sin^-1 x+cos^-1x dx

Answer 1

Dear Student,

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\int \frac{{\sin }^{-1}\mathrm{x}-{\cos }^{-1}\mathrm{x}}{{\sin }^{-1}\mathrm{x}+{\cos }^{-1}\mathrm{x}}\mathrm{dx}. \\ \mathrm{let}\mathrm{say}{\sin }^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{y} \\ \mathrm{then}\mathrm{x}=\mathrm{siny}. \\ \frac{{\sin }^{-1}\mathrm{x}-{\cos }^{-1}\mathrm{x}}{{\sin }^{-1}\mathrm{x}+{\cos }^{-1}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{y}-{\cos }^{-1}\left(\mathrm{siny}\right)}{\mathrm{y}+{\cos }^{-1}\left(\mathrm{siny}\right)}=\frac{\mathrm{y}-{\cos }^{-1}\left(\cos \right({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}-\mathrm{y}\left)\right)}{\mathrm{y}+{\cos }^{-1}\left(\cos \right(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{y}\left)\right)} \\ =\frac{\mathrm{y}-\mathrm{\pi }/2+\mathrm{y}}{\mathrm{y}+\mathrm{\pi }/2-\mathrm{y}}=\frac{2\mathrm{y}-\mathrm{\pi }/2}{\mathrm{\pi }/2}=\frac{4}{\mathrm{\pi }}{\sin }^{-1}\mathrm{x}-1 \\ \mathrm{I}=\int \left(\frac{4}{\mathrm{\pi }}{\sin }^{-1}\mathrm{x}-1\right)\mathrm{dx} \\ =\frac{4}{\mathrm{\pi }}\int {\sin }^{-1}\mathrm{xdx}-\int \mathrm{dx}==\frac{4}{\mathrm{\pi }}\mathrm{I}\text{'}-\int \mathrm{dx}.....\mathrm{i} \\ \mathrm{now}\mathrm{solveing}\int {\sin }^{-1}\mathrm{xdx}\mathrm{saparelty}. \\ \mathrm{I}\text{'}=\int {\sin }^{-1}\mathrm{xdx}=\int \left(1\right)\times {\sin }^{-1}\mathrm{xdx} \\ \mathrm{we}\mathrm{know}, \\ \int \mathrm{uvdx}=\mathrm{u}\int \mathrm{vdx}-\int \int \mathrm{v}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\mathrm{dx} \\ \mathrm{where}\mathrm{u}-\mathrm{sinx}\mathrm{and}\mathrm{v}=1 \\ \mathrm{I}\text{'}=\int {\sin }^{-1}\mathrm{xdx}=\int \left(1\right)\times {\sin }^{-1}\mathrm{xdx}={\sin }^{-1}\mathrm{x}\int \mathrm{dx}-\iint \mathrm{dx}.\frac{d{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{d\mathrm{x}}\mathrm{dx}. \\ =\mathrm{x}.{\sin }^{-1}\mathrm{x}-\int \frac{\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}. \\ =\mathrm{x}.{\sin }^{-1}\mathrm{x}-\mathrm{I}\text{'}\text{'}......\mathrm{ii} \\ \mathrm{I}\text{'}\text{'}=\int \frac{\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx} \\ \mathrm{Put}1-{\mathrm{x}}^2=\mathrm{t} \\ -2\mathrm{xdx}=\mathrm{dt} \\ \frac{-1}{2}\int \frac{\mathrm{dt}}{\sqrt{\mathrm{t}}}=\frac{-1}{2}\frac{\sqrt{\mathrm{t}}}{1/2}=-\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{substitute}\mathrm{in}\mathrm{equation}\mathrm{ii}\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{I}\text{'}={\mathrm{xsin}}^{-1}\mathrm{x}-(-\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2})={\mathrm{xsin}}^{-1}\mathrm{x}+\hspace{0.17em}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}. \\ \mathrm{substituting}\mathrm{in}\mathrm{equation}\mathrm{i}\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \mathrm{I}=\frac{4}{\mathrm{\pi }}\left({\mathrm{xsin}}^{-1}\mathrm{x}+\hspace{0.17em}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\right)-\int \mathrm{dx} \\ \mathrm{I}=\frac{4}{\mathrm{\pi }}\left({\mathrm{xsin}}^{-1}\mathrm{x}+\hspace{0.17em}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\right)-\mathrm{x}+. \end{gathered}$$
Regards.