Question

Evaluate: $\underset{\pi /5}{\overset{3\pi /10}{\int }}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$

Answer 1

Solution :

$I={\int }_{\pi /5}^{3\pi /10}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

$=\frac{1}{2}\int \frac{2sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int \frac{sinx+sinx+cosx-cosx}{sinx+cosx}dx$

$=\frac{1}{2}\int (\frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}+\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx})dx$

$=\frac{1}{2}(\int 1dx-\int \frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx)$

$=\frac{1}{2}[x-log|sinx+cosx|{]}_{\pi /5}^{3\pi /10}$

$=\frac{1}{2}[\frac{3\pi }{10}-log|sin\frac{3\pi }{10}+cos\frac{3\pi }{10}|-\frac{\pi }{5}+log|sin\frac{\pi }{5}+cos\frac{\pi }{5}|]$

$=\frac{1}{2}[\frac{\pi }{10}+log\frac{(sin\pi /5+cos\pi /5)}{sin3\pi /10+cos3\pi /10}]$