Question

Evaluate: $\int \tan (x-a)\tan (x+a)\tan 2xdx$

• A. $8\log \left\{\sqrt{\sec 2x}\cos (x+a)\cos (x-a)\right\}$
• B. $\log \left\{\sqrt{\sec 2x}\cos (x+a)\cos (x-a)\right\}$
• C. $2\log \left\{\sqrt{\sec 2x}\cos (x+a)\cos (x-a)\right\}$
• D. $4\log \left\{\sqrt{\sec 2x}\cos (x+a)\cos (x-a)\right\}$

Answer 1

Answer: (B)

$\log \left\{\sqrt{\sec 2x}\cos (x+a)\cos (x-a)\right\}$

Let $I=\int \tan (x-a)\tan (x+a)\tan 2xdx$
As $2x=(x+a)+(x-a)\Rightarrow \tan 2x=\frac{\tan (x+a)+\tan (x-a)}{1-\tan (x+a)\tan (x-a)}$
$\Rightarrow \tan 2x-\tan (x+a)-\tan (x-a)=\tan 2x\tan (x+a)\tan (x-a)$
Therefore
$I=\int [\tan 2x-\tan (x+a)-\tan (x-a)]dx$
$=\frac{1}{2}\log \sec 2x-\log \sec (x+a)-\log \sec (x-a)$
$=\log \left\{\sqrt{\sec 2x}\cos (x+a)\cos (x-a)\right\}$.