Question

Evaluate: $\stackrel{\pi /3}{\underset{\pi /6}{\int }}\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$

• A. $\frac{\pi }{3}$
• B. $\frac{\pi }{6}$
• C. $\frac{2\pi }{3}$
• D. $\frac{\pi }{12}$

Answer 1

Answer: (D)

$\frac{\pi }{12}$

Let,

$I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$

$I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}\frac{dx}{1+\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}}$

$I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}\frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}dx$ …… (1)

We know that,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(a+b-x)dx$

Therefore,

$I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}\frac{\sqrt{\cos (\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}-x)}}{\sqrt{\cos (\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}-x)}+\sqrt{\sin (\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}-x)}}dx$

$I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}\frac{\sqrt{\cos (\frac{\pi }{2}-x)}}{\sqrt{\cos (\frac{\pi }{2}-x)}+\sqrt{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}}dx$

$I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx$ …… (2)

Add equations (1) and (2).

$2I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}\frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx$

$2I=\underset{\pi /6}{\overset{\pi /3}{\int }}1\cdot dx$

$2I={\left[x\right]}_{\pi /6}^{\pi /3}$

$2I=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}$

$2I=\frac{\pi }{6}$

$I=\frac{\pi }{12}$

Hence, this is the required value of the integral.