Question

evaluate integration of (x-1 /x²) e^x dx

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \left(\frac{\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\int \left[\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\right]{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{1}{\mathrm{x}}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\frac{1}{\mathrm{x}}\times \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)\times \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\right]\mathrm{dx}-\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\frac{1}{\mathrm{x}}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\int \left(-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\right).{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}+\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}+\mathrm{C} \end{gathered}$$