Question

Evaluate the following integrals:-
$\int \frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}dx$

Answer 1

$I=\int \frac{(x+1)dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$

$=\frac{1}{2}\int \frac{(2x+2)dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$

$=\frac{1}{2}\int \frac{(2x-1+3)dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$

$=\frac{1}{2}\int \frac{(2x-1)dx}{\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$

Let $I_1=\frac{1}{2}\int \frac{(2x-1)dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$ and $I_2=\frac{3}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$

$\therefore I=I_1+I_2$

$I_1=\frac{1}{2}\int \frac{(2x-1)dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$

Let $t=x^2-x+1\Rightarrow dt=(2x-1)dx$

$I_1=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}$

$=\frac{1}{2}\int t^{\frac{-1}{2}}dt$

$=\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{-1}{2}+1}}{\frac{-1}{2}+1}+c_1$

$=\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c_1$

$=t^{\frac{1}{2}}+c_1$

$=\sqrt{x^2-x+1}+c_1$ where $t=x^2-x+1$

$I_2=\frac{3}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}$

$=\frac{3}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-2\times x\times \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}}$

$=\frac{3}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{{(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}}}$

$=\frac{3}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{{(x-\frac{1}{2})}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}$

Let $u=x-\frac{1}{2}\Rightarrow du=dx$

$=\frac{3}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}$

$=\frac{3}{2}\ln [u+\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}]+c_2$

$=\frac{3}{2}\ln [x-\frac{1}{2}+\sqrt{{(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}}]+c_2$ where $u=x-\frac{1}{2}$

$=\frac{3}{2}\ln [x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}]+c_2$

$=\frac{3}{2}\ln [x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+1}]+c_2$

$\therefore I=I_1+I_2$

$I=\sqrt{x^2-x+1}+c_1+\frac{3}{2}\ln [x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+1}]+c_2$

$I=\sqrt{x^2-x+1}+\frac{3}{2}\ln [x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+1}]+c_1+c_2$

$I=\sqrt{x^2-x+1}+\frac{3}{2}\ln [x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+1}]+C$ where $C=+c_1+c_2$