Question

Evaluate the following integrates:
i. ?(sin^-1x)^3/?1-x^2 dx
ii. ?(log x)^n/x dx

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Assuming}\mathrm{the}\mathrm{question}\mathrm{is} \\ \left(1\right)\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{{\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^3}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx} \\ \mathrm{Let}{\sin }^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{t} \\ \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ \mathrm{I}=\int {\mathrm{t}}^3.\mathrm{dt}=\frac{{\mathrm{t}}^4}{4}+\mathrm{c} \\ =\frac{{\left({\sin }^{-1}\mathrm{x}\right)}^4}{4}+\mathrm{c}\mathrm{ANS}... \\ \left(2\right)\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{{\left(\log \mathrm{x}\right)}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ \mathrm{Let}\log \mathrm{x}=\mathrm{t} \\ \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ \mathrm{I}=\int {\mathrm{t}}^{\mathrm{n}}.\mathrm{dt}=\frac{{\mathrm{t}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c} \\ =\frac{{\left(\log \mathrm{x}\right)}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}\mathrm{ANS}... \end{gathered}$$