Expand $\frac{1}{x^{4} - 5 x^{3} + 7 x^{2} + x - 8}$ in descending powers of $x$ to four terms, and find remainder.

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Solution

Using long division method for expanding we get,
$x^{- 4} + 5 x^{- 5} + 18 x^{- 6} + 54 x^{- 7} - ----------------------------- -$
$x^{4} - 5 x^{3} + 7 x^{2} + x - 8) 1$
$1 - 5 x^{- 1} + 7 x^{- 2} + x^{- 3} - 8 x^{- 4}$
$(-) (+) (-) (-) (+) - --------------------------------- -$
$5 x^{- 1} - 7 x^{- 2} - x^{- 3} + 8 x^{- 4}$
$5 x^{- 1} - 25 x^{- 2} + 35 x^{- 3} + 5 x^{- 4} - 40 x^{- 5}$
$(-) (+) (-) (-) (+) - -------------------------------------- -$
$18 x^{- 2} - 36 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + 40 x^{- 5}$
$18 x^{- 2} - 90 x^{- 3} + 126 x^{- 4} + 18 x^{- 5} - 144 x^{- 6}$
$(-) (+) (-) (-) (+) - ---------------------------------------- -$
$54 x^{- 3} - 123 x^{- 4} + 22 x^{- 5} + 144 x^{- 6}$
$54 x^{- 3} - 270 x^{- 4} + 378 x^{- 5} + 54 x^{- 6} - 432 x^{- 7}$
$(-) (+) (-) (-) (+) - ------------------------------------------- -$
$147 x^{- 4} - 356 x^{- 5} - 90 x^{- 6} - 432 x^{- 7}$

Hence, remainder $=$ $147 x^{- 4} - 356 x^{- 5} + 90 x^{- 6} + 432 x^{- 7}$

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p (x) = x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} - 4

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(1 + 2 x + x^{2})^{n}

(r + 1) t h

{(x + \frac{1}{x})}^{20}

x

6 t h

{(x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}})}^{10}

x

r

lim x \to 3 \frac{x^{3} - 7 x^{2} + 15 x - 9}{x^{4} - 5 x^{3} + 27 x - 27}

\frac{a}{b}

a + b

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