Expand : $x y (x - y) + y z (y - z) + z x (z - x)$

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Solution

Given that,
$\begin{matrix} x y (x - y) + y z (y - z) + z x (z - x) = (x \times x \times y) - (x \times y \times y) + (y \times y \times z) - (y \times z \times z) + (z \times z \times x) - (z \times x \times x) \end{matrix}$

$\to x^{2} y - x y^{2} + y^{2} z - y z^{2} + z^{2} x - z x^{2}$

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If x, y and z are variables, verify the cyclic symmetry of the following expressions.

(1) x(y + z) + y(z + x) + z(x + y)

(2) xy(x − y) + yz(y − z) + zx(z − x)

(3) x²y(x + y) + y²z(y + z) + z²x(z + x)

(4) x³(x + y) + y³(y + z) + z³(z + x)

(5) xy²(x − y) + yz²(y − z) + zx²(z − x)

$∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} x & x^{2} & y z y & y^{2} & z x z & z^{2} & x y \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = (x - y) (y - z) (z - x) (x y + y z + z x)$

\frac{x y}{x + y} = \frac{6}{5}, \frac{x y}{x - y} = 6, where x + y \neq 0 and y - x \neq 0 .

(y + x \sqrt{x y} (x + y) + y) d x + (y \sqrt{x y} (x + y) - x) d y = 0

\begin{matrix} (x + y)^{2} & z x & z y z x & (z + y)^{2} & x y z y & x y & (z + x)^{2} \end{matrix}

2 x y z (x + y + z)^{3}

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