Question

Find a cubic polynomial whose zeros are 3, 5 and −2.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\mathrm{and}\mathrm{\gamma }\mathrm{}\mathrm{be}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{zeroes}\mathrm{}\mathrm{of}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{required}\mathrm{}\mathrm{polynomial}. \\ \mathrm{Then}\mathrm{we}\mathrm{have}: \\ \mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }+\mathrm{\gamma }=3+5+(-2)=6 \\ \mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }+\mathrm{\beta }\mathrm{\gamma }+\mathrm{\gamma }\mathrm{\alpha }=3\times 5+5\times (-2)+(-2)\times 3=-1\mathrm{} \\ \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{}\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }\mathrm{\gamma }=3\times 5\times -2=-30 \\ \mathrm{Now},p\left(x\right)=x^{\mathit{3}}\mathit{-}{x}^{\mathit{2}}\left(\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }+\mathrm{\gamma }\right)+x\left(\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }+\mathrm{\beta }\mathrm{\gamma }+\mathrm{\gamma }\mathrm{\alpha }\right)-\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }\mathrm{\gamma } \\ \mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}=x^{\mathit{3}}\mathit{-}{x}^2\mathit{\times }6+x\mathit{\times }\left(-1\right)-\left(-30\right) \\ \mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}=x^{\mathit{3}}\mathit{-}\mathit{6}{x}^{\mathit{2}}\mathit{-}x+30 \\ \mathrm{So},\mathrm{}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{}\mathrm{p}\mathrm{olyn}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{}\mathrm{i}\mathrm{s}p\left(x\right)=x^3\mathit{-}\mathit{6}{x}^2\mathit{-}x+30. \end{gathered}$$