Question

find derivative of 1/x using first principle.

Answer 1

Dear student,

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \mathrm{y}+∆\mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}+∆\mathrm{x}} \\ \Rightarrow ∆\mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}+∆\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow ∆\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{x}-∆\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+∆\mathrm{x}\right)} \\ \Rightarrow \frac{∆\mathrm{y}}{∆\mathrm{x}}=-\frac{∆\mathrm{x}}{∆\mathrm{x}.\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+∆\mathrm{x}\right)} \\ \Rightarrow \frac{∆\mathrm{y}}{∆\mathrm{x}}=-\frac{1}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+∆\mathrm{x}\right)} \\ \Rightarrow \underset{∆\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{∆\mathrm{y}}{∆\mathrm{x}}=\underset{∆\mathrm{x}\to 0}{\lim }-\frac{1}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+∆\mathrm{x}\right)} \\ \Rightarrow \boxed{\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dx}}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}} \end{gathered}$$

Regards