Question

Find $\int \frac{x^2+1}{x^2-5x+6}dx$.

Answer 1

We are given that,

$I=\int \frac{(x^2+1)}{(x^2-5x+6)}dx$

$=\frac{(x^2-5x+6+5x-5)}{x^2-5x+6}dx$

$I=\int \left(\frac{x^2-5x+6}{x^2-5x+6}\right)dx+\int \left(\frac{5x-5}{x^2-5x+6}\right)dx$

$I=\int dx+\int \frac{5x-5}{x^2-5x+6}dx$

Let $I_1=\int dx=x+C_1,C_1\in R$

& $I_2=\int \frac{5x-5}{x^2-5x+6}dx$.

$I_2=\int \frac{\frac{5}{2}(2x-5)+\frac{15}{2}}{(x^2-5x+6)}dx$

So, $I_2=\frac{5}{2}\int \frac{(2x-5)}{(x^2-5x+6)}dx+\frac{15}{2}\int \frac{dx}{x^2-5x+6}$

Let $I_3=\frac{5}{2}\int \frac{(2x-5)}{(x^2-5x+6}=\frac{5}{2}ln|x^2-5x+6|+C_3,C_3\in R$

& $I_4=\frac{15}{2}\int \frac{dx}{x^2-5x+6}$

$I_4=\frac{15}{2}\int \frac{dx}{{(x-\frac{5}{2})}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$

So, $I_4=\frac{15}{2}[\frac{1}{2\left(\sqrt{\frac{15}{2}}\right)}{\log }_e\left|\frac{x-\frac{5}{2}-\sqrt{\frac{13}{2}}}{x-\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{13}{2}}}\right|+C_4]$ $C_4\in R$

So, $I=I_1+I_2$

where $I_2=I_3+I_4$

$I_2=\frac{5}{2}ln|x^2-5x+6|+C_3+\frac{15}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{13}}\right){\log }_e\left|\frac{2x-5-\sqrt{13}}{2x-5+\sqrt{13}}\right|+C_4$

$I=x+C_1+\frac{5}{2}ln|x^2-5x+6|+\frac{15}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{13}}{\log }_e\left|\frac{2x-5-\sqrt{13}}{2x-5+\sqrt{13}}\right|+C_2$

Where $C_2=C_3+C_3$

$I=x+\frac{5}{2}ln|x^2-5x+6|+\frac{15}{\sqrt{26}}{\log }_e\left|\frac{2x-5\sqrt{13}}{2x-5+\sqrt{13}}\right|+C$

where $C\in R$ & $C=C_1+C_2$

$\int \frac{x^2+1}{x^2-5x+6}dx=x+\frac{5}{2}ln|x^2-5x+6|+\frac{15}{\sqrt{26}}{\log }_e\left|\frac{2x-5-\sqrt{13}}{2x-5+\sqrt{13}}\right|+C$