Question

Find its derivative by using 1st principle--e^sinx

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}} \\ \mathrm{Then}\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{h})={\mathrm{e}}^{\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x}\left)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}} \\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}}{\mathrm{h}} \\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}-1}{\mathrm{h}}\right\} \\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}-1}{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}\times \frac{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}{\mathrm{h}}\right\} \\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}-1}{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}\right\}\times \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}{\mathrm{h}} \\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}\times 1\times \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{sinx}}{\mathrm{h}} \\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}\times \mathrm{cosx} \end{gathered}$$
Regards