Question

Find m if $m[a{\sin }^2\frac{C}{2}+c{\sin }^2\frac{A}{2}]=c+a-b$

Answer 1

$sin\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}$

$sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$

where, $s=\frac{a+b+c}{2}$

$a{\sin }^2\frac{C}{2}+c{\sin }^2\frac{A}{2}=a\left[\frac{(s-a)(s-b)}{ab}\right]+c\left[\frac{(s-b)(s-c)}{bc}\right]$

$=\frac{(s-a)(s-b)}{b}+\frac{(s-b)(s-c)}{b}$

$=\frac{(s-b)}{b}\{s-a+s-c\}$

$=\frac{(s-b)}{b}\{2s-a-c\}$

$=\frac{(s-b)}{b}\{a+b+c-a-c\}$

$=s-b$

$=\frac{a+b+c}{2}-b$

$=\frac{a-b+c}{2}$

So,

$2[a{\sin }^2\frac{C}{2}+c{\sin }^2\frac{A}{2}]=a-b+c$

$\Rightarrow m=2$