Question

Find the area of the region {(x, y) : y² ≤ 8x, x² + y² ≤ 9}.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}R=\left\{\left(x,y\right):y^2\le 8x,x^2+y^2\le 9\right\} \\ {R}_1=\left\{\left(x,y\right):y^2\le 8x\right\} \\ {R}_2=\left\{\left(x,y\right):x^2+y^2\le 9\right\} \\ \mathrm{Thus},R=R_1\cap R_2 \\ \mathrm{Now},y^2=8x\mathrm{represents}\mathrm{a}\mathrm{parabola}\mathrm{with}\mathrm{vertex}\mathrm{O}(0,0)\mathrm{and}\mathrm{symmetrical}\mathrm{about}x-\mathrm{axis} \\ \mathrm{Thus},R_1\mathrm{such}\mathrm{that}{\mathrm{y}}^2\le 8\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{inside}\mathrm{the}\mathrm{parabola} \\ \mathrm{Also},{\mathrm{x}}^2+y^2=9\mathrm{represents}\mathrm{with}\mathrm{circle}\mathrm{with}\mathrm{centre}\mathrm{O}(0,0)\mathrm{and}\mathrm{radius}3\mathrm{units}. \\ \mathrm{The}\mathrm{circle}\mathrm{cuts}\mathrm{the}x\mathrm{axis}\mathrm{at}\mathrm{C}(3,0)\mathrm{and}\mathrm{C}\text{'}(-3,0)\mathrm{and}Y-\mathrm{axis}\mathrm{at}\mathrm{B}(0,3)\mathrm{and}\mathrm{B}\text{'}(0,-3) \\ \mathrm{Thus},R_2\mathrm{such}\mathrm{that}{x}^2+y^2\le 9\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{inside}\mathrm{the}\mathrm{circle} \\ \Rightarrow R=R_1\cap R_2=\mathrm{Area}\mathrm{OACA}\text{'}\mathrm{O}=2\left(\mathrm{shaded}\mathrm{area}\mathrm{OACO}\right)...\left(1\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{two}\mathrm{curves}\mathrm{is}\mathrm{obtained}\mathrm{by}\mathrm{solving}\mathrm{the}\mathrm{two}\mathrm{equations} \\ {y}^2=8x\mathrm{and}{x}^2+y^2=9 \\ \Rightarrow x^2+8x=9 \\ \Rightarrow x^2+8x-9=0 \\ \Rightarrow \left(x+9\right)\left(x-1\right)=0 \\ \Rightarrow x=-9\mathrm{or}x=1 \\ \mathrm{Since},\mathrm{parabola}\mathrm{is}\mathrm{symmetric}\mathrm{about}+\mathrm{ve}x-\mathrm{axis},x=1\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{correct}\mathrm{solution} \\ \Rightarrow y^2=8 \\ \Rightarrow y=\pm 2\sqrt{2} \\ \mathrm{Thus},\mathrm{A}\left(1,2\sqrt{2}\right)\mathrm{and}\mathrm{A}\text{'}\left(1,-2\sqrt{2}\right)\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{two}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{intersection} \\ \mathrm{Area}\mathrm{OACO}=\mathrm{area}\mathrm{OADO}+\mathrm{area}\mathrm{DACD}...\left(2\right) \\ \mathrm{Area}\mathrm{OADO}={\int }_0^1\sqrt{8x}dx\left[\mathrm{Area}\mathrm{bound}\mathrm{by}\mathrm{curve}{y}^2=8x\mathrm{between}x=0\mathrm{and}x=1\right] \\ =2\sqrt{2}{\left[\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\right]}_0^1 \\ \Rightarrow \mathrm{Area}\mathrm{OADO}=\frac{4\sqrt{2}}{3}...\left(3\right) \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{DACD}=\mathrm{area}\mathrm{bound}\mathrm{by}{x}^2+y^2=9\mathrm{between}x=1\mathrm{to}x=3 \\ \Rightarrow A={\int }_1^3\sqrt{9-x^2}dx \\ ={\left[\frac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}+\frac{1}{2}9{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)\right]}_1^3 \\ =0+\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{3}{3}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{9-1^2}-\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ =\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}1-\frac{1}{2}\sqrt{8}-\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ =\frac{9}{2}\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{1}{2}2\sqrt{2}-\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{Area}\mathrm{DACD}=9\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\sqrt{2}-\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)...\left(4\right) \\ \mathrm{From}\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\mathrm{and}\left(4\right) \\ R=\mathrm{Area}\mathrm{OACA}\text{'}\mathrm{O} \\ =2\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}+9\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\sqrt{2}-\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right) \\ =2\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}+9\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right) \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{OACA}\text{'}\mathrm{O}=2\left(\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{9\mathrm{\pi }}{4}-\frac{9}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\mathrm{sq}.\mathrm{units} \end{gathered}$$