Question

Find the complete set of values of $x$ satisfying :
(i) $\frac{5\left[x\right]+4}{11\left[x\right]+7}\ge 3$
(ii) $[x{]}^2-3[x]+2\le 0$

Answer 1

(i) $\frac{5\left[x\right]+4}{11\left[x\right]+7}\ge 3$

$⟹\frac{5\left[x\right]+4}{11\left[x\right]+7}-3\ge 0$

$⟹\frac{5\left[x\right]+4-33\left[x\right]-21}{11\left[x\right]+7}\ge 0$

$⟹\frac{-28\left[x\right]-17}{11\left[x\right]+7}\ge 0$

$⟹\frac{28\left[x\right]+17}{11\left[x\right]+7}\le 0$

$⟹\frac{-17}{28}\le \left[x\right]\le \frac{-7}{11}$

$\therefore x=\varphi$

(ii) $[x{]}^2-3[x]+2\le 0$

$⟹\left(\right[x]-1)\left(\right[x]-2)\le 0$

$⟹1\le \left[x\right]\le 2$

$\therefore x\in [1,3)$