Question

Find the derivative of tan2x using first principle

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\tan 2\mathrm{x} \\ \mathrm{Then}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)=\tan 2\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right) \\ \mathrm{By}\mathrm{first}\mathrm{principle}, \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\tan 2\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)-\tan 2\mathrm{x}}{\mathrm{h}} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\tan \left(2\mathrm{x}+2\mathrm{h}\right)-\tan 2\mathrm{x}}{\mathrm{h}} \\ \mathrm{Expanding}\mathrm{using}\tan \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\frac{\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}}{1-\mathrm{tanAtanB}} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{\tan 2\mathrm{x}+\tan 2\mathrm{h}}{1-\tan 2\mathrm{xtan}2\mathrm{h}}}-\tan 2\mathrm{x}}{\mathrm{h}} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\tan 2\mathrm{x}+\tan 2\mathrm{h}-\tan 2\mathrm{x}+{\tan }^{2}2\mathrm{x}\tan 2\mathrm{h}}{\mathrm{h}\left(1-\tan 2\mathrm{xtan}2\mathrm{h}\right)} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\tan 2\mathrm{h}\left(1+{\tan }^{2}2\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(1-\tan 2\mathrm{xtan}2\mathrm{h}\right)} \\ \mathrm{Now}\mathrm{mutiply}\mathrm{and}\mathrm{divide}\mathrm{by}2\mathrm{and}\mathrm{using}1+{\tan }^2\mathrm{x}={\sec }^2\mathrm{x} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\tan 2\mathrm{h}2{\sec }^{2}2\mathrm{x}}{2\mathrm{h}\left(1-\tan 2\mathrm{xtan}2\mathrm{h}\right)} \\ \mathrm{Consider}\frac{\tan 2\mathrm{h}}{2\mathrm{h}} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\left(\frac{\sin 2\mathrm{h}}{2\mathrm{h}}\times \frac{1}{\cos 2\mathrm{h}}\right)\left(\mathrm{as}\mathrm{tanx}=\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}\right) \\ \mathrm{As}\mathrm{h}\to 0,\frac{\sin 2\mathrm{h}}{2\mathrm{h}}=1 \\ \mathrm{So},\frac{\tan 2\mathrm{h}}{2\mathrm{h}}=\frac{1}{\cos 2\mathrm{h}} \\ \mathrm{So}\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{2{\sec }^{2}2\mathrm{x}}{\cos 2\mathrm{h}\left(1-\tan 2\mathrm{xtan}2\mathrm{h}\right)} \\ \mathrm{As}\mathrm{h}\to 0,\cos 2\mathrm{h}=1,\tan 2\mathrm{h}=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=2{\sec }^{2}2\mathrm{x} \end{gathered}$$
Regards