Question

Find the derivative of (tanx+secx)(cotx+cosecx)

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{y}=\left(\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}\right)\left(\cot \mathrm{x}+\mathrm{cosec}\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\left(\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}\right)\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\cot \mathrm{x}+\mathrm{cosec}\mathrm{x}\right)+\left(\cot \mathrm{x}+\mathrm{cosec}\mathrm{x}\right)\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\left(\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}\right)\left[-{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}-\cot \mathrm{x}.\mathrm{cosec}\mathrm{x}\right]+\left(\cot \mathrm{x}+\mathrm{cosec}\mathrm{x}\right)\left({\sec }^2\mathrm{x}+\sec \mathrm{x}.\tan \mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\tan \mathrm{x}.{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}-\tan \mathrm{x}.\cot \mathrm{x}.\mathrm{cosec}\mathrm{x}-\sec \mathrm{x}.{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}-\sec \mathrm{x}.\cot \mathrm{x}.\mathrm{cosec}\mathrm{x}+\cot \mathrm{x}.{\sec }^2\mathrm{x}+\sec \mathrm{x}+\mathrm{cosec}\mathrm{x}.{\sec }^2\mathrm{x}+\sec \mathrm{x}.\tan \mathrm{x}.\mathrm{cosec}\mathrm{x} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{1}{\sin \mathrm{x}.\cos \mathrm{x}}-\frac{1}{\sin \mathrm{x}}-\sec \mathrm{x}.{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}+\frac{1}{\sin \mathrm{x}.\cos \mathrm{x}}+\sec \mathrm{x}+\mathrm{cosec}\mathrm{x}.{\sec }^2\mathrm{x}+{\sec }^2\mathrm{x} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\mathrm{cosec}\mathrm{x}-\sec \mathrm{x}.{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}+\sec \mathrm{x}+\mathrm{cosec}\mathrm{x}.{\sec }^2\mathrm{x}+{\sec }^2\mathrm{x} \end{gathered}$$