Question

find the derivative of, x/2x+1 with respect to x from first principle.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+1} \\ \Rightarrow \mathrm{y}+∆\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+∆\mathrm{x}}{2\left(\mathrm{x}+∆\mathrm{x}\right)+1} \\ \Rightarrow ∆\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+∆\mathrm{x}}{2\left(\mathrm{x}+∆\mathrm{x}\right)+1}-\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+1} \\ \Rightarrow ∆\mathrm{y}=\frac{\left(\mathrm{x}+∆\mathrm{x}\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)-\mathrm{x}\left(2\mathrm{x}+2∆\mathrm{x}+1\right)}{\left(2\mathrm{x}+2∆\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)} \\ \Rightarrow ∆\mathrm{y}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2\mathrm{x}∆\mathrm{x}+∆\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}∆\mathrm{x}-\mathrm{x}}{\left(2\mathrm{x}+2∆\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)} \\ \Rightarrow ∆\mathrm{y}=\frac{∆\mathrm{x}}{\left(2\mathrm{x}+2∆\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{∆\mathrm{y}}{∆\mathrm{x}}=\frac{1}{\left(2\mathrm{x}+2∆\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)} \\ \Rightarrow \underset{∆\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{∆\mathrm{y}}{∆\mathrm{x}}=\underset{∆\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{\left(2\mathrm{x}+2∆\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^2} \end{gathered}$$