Question

find the derivative using first principle e^{root x}

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}}\left(\mathrm{First}\mathrm{principle}\right) \\ \mathrm{Here},\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \\ \therefore \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}}-{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{\mathrm{h}} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}}}{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}}-1\right)}{\mathrm{h}} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\left({\displaystyle {\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}}-1}\right)}{\mathrm{h}} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\left({\displaystyle {\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}}-1}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{h}}\times \left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\left({\displaystyle {\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}}-1}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{h}}\times \left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}\right)\times \frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\left({\displaystyle {\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}}-1}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{h}}\times \frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}-\mathrm{x}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\left({\displaystyle {\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}}-1}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}-\sqrt{\mathrm{x}}\right)}\times \frac{1}{\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{h}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\times 1\times \frac{1}{\left(\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)}\left(\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}=1\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{2\sqrt{\mathrm{x}}} \end{gathered}$$