Question

Find the equation of common tangents of x²+y²=6 and y²=8(3)^1/2x

1. y=x+23
2. y=x+3
3. x+y+23=0
4. x-y-3=0

Answer 1

$$\begin{gathered} {\mathrm{y}}^2=8\sqrt{3}\mathrm{x} \\ \mathrm{So}4\mathrm{a}=8\sqrt{3}\mathrm{a}=2\sqrt{3} \\ \mathrm{So}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{tangent}\mathrm{of}\mathrm{parabola}\mathrm{is} \\ \mathrm{y}=\mathrm{mx}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}} \\ \mathrm{y}=\mathrm{mx}+\frac{2\sqrt{3}}{\mathrm{m}} \\ {\mathrm{m}}^2\mathrm{x}-\mathrm{my}+2\sqrt{3}=0 \\ \mathrm{Now}\mathrm{if}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{touching}\mathrm{circle}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2={\left(\sqrt{6}\right)}^2 \\ \mathrm{Then}\mathrm{perpendicular}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{center}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{radius} \\ \mathrm{of}\mathrm{circle} \\ \frac{0+0+2\sqrt{3}}{\sqrt{{\mathrm{m}}^4+{\mathrm{m}}^2}}=\sqrt{6} \\ \sqrt{{\mathrm{m}}^4+{\mathrm{m}}^2}=\sqrt{2} \\ {\mathrm{m}}^4+{\mathrm{m}}^2-2=0 \\ \left({\mathrm{m}}^2-1\right)\left({\mathrm{m}}^2+2\right)=0 \\ {\mathrm{m}}^2=-2\mathrm{or}1 \\ \mathrm{but}{\mathrm{m}}^2\mathrm{cannot}\mathrm{be}\mathrm{negative}\mathrm{because}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{quantity}, \\ \mathrm{So}{\mathrm{m}}^2=1 \\ \mathrm{m}=\pm 1 \\ \mathrm{So}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{tangent}\mathrm{can}\mathrm{be}, \\ \mathrm{y}=\mathrm{x}+2\sqrt{3}\mathrm{or}\mathrm{y}=-\mathrm{x}-2\sqrt{3} \end{gathered}$$