Question

Find the equation of line passing through the point of intersection of the straight lines x + 2y + 3 = 0 and 3x + 4y +7 =0 and parallel to the straight line y = (-5+8)x

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{any}\mathrm{line}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{lines}\mathrm{x}+2\mathrm{y}+3=0 \\ \mathrm{and}3\mathrm{x}+4\mathrm{y}+7=0\mathrm{is} \\ \left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}+3\right)+\mathrm{\lambda }\left(3\mathrm{x}+4\mathrm{y}+7\right)=0 \\ \Rightarrow \left(1+3\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{x}+\mathrm{y}\left(2+4\mathrm{\lambda }\right)+3+7\mathrm{\lambda }=0\left(1\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{line}\mathrm{in}\left(1\right)\mathrm{is}\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{y}=3\mathrm{x}. \\ \mathrm{So},\mathrm{their}\mathrm{slopes}\mathrm{are}\mathrm{equal} \\ \Rightarrow -\left(\frac{1+3\mathrm{\lambda }}{2+4\mathrm{\lambda }}\right)=3 \\ \Rightarrow -1-3\mathrm{\lambda }=6+12\mathrm{\lambda } \\ \Rightarrow -3\mathrm{\lambda }-12\mathrm{\lambda }=6+1 \\ \Rightarrow -15\mathrm{\lambda }=7 \\ \Rightarrow \mathrm{\lambda }=\frac{-7}{15} \\ \mathrm{So}\mathrm{putting}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{\lambda } \\ \left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}+3\right)+\left(\frac{-7}{15}\right)\left(3\mathrm{x}+4\mathrm{y}+7\right)=0 \\ 15\mathrm{x}+30\mathrm{y}+45-21\mathrm{x}-28\mathrm{y}-49=0 \\ 6\mathrm{x}-2\mathrm{y}+4=0 \\ 3\mathrm{x}-\mathrm{y}+2=0 \end{gathered}$$
Regards