Question

find the equation of plane passing through the line of intersection of the planes x+y+z=6 and 2x+3y=4z-5=0 and the point(1,1,1).

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{planes}\mathrm{are}: \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-6=0....\left(1\right) \\ \mathrm{and} \\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}+4\mathrm{z}-5=0....\left(2\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{plane}\mathrm{passing}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{planes}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right)\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}: \\ \left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-6\right)+\mathrm{\lambda }\left(2\mathrm{x}+3\mathrm{y}+4\mathrm{z}-5\right)=0 \\ \Rightarrow \left(1+2\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{x}+\left(1+3\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{y}+\left(1+4\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{z}+\left(-6-5\mathrm{\lambda }\right)=0....\left(3\right) \\ \mathrm{Since}\left(3\right)\mathrm{passes}\mathrm{through}\left(1,1,1\right),\mathrm{then}\mathrm{it}\mathrm{must}\mathrm{satisfy}\mathrm{it}. \\ \mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=1\mathrm{in}\left(3\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 1+2\mathrm{\lambda }+1+3\mathrm{\lambda }+1+4\mathrm{\lambda }-6-5\mathrm{\lambda }=0 \\ \Rightarrow \mathrm{\lambda }=\frac{3}{4} \\ \mathrm{Now},\mathrm{putting}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{\lambda }\mathrm{in}\left(3\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \boxed{\mathbf{10}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{13}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{16}\mathbf{z}\mathbf{-}\mathbf{39}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{0}} \\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{plane}. \end{gathered}$$