Question

find the equation of the circle passing through the point(0,2) having radius root 8units and center lying on the line y= x+2

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{center}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cicle}\mathrm{is}=(\mathrm{a},\mathrm{b}) \\ \mathrm{Since}\mathrm{it}\mathrm{lies}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{y}=\mathrm{x}+2\mathrm{hence}\mathrm{it}\mathrm{satisfies}\mathrm{this}\mathrm{line}\mathrm{i}.\mathrm{e}.\mathrm{b}=\mathrm{a}+2...\left(1\right) \\ \mathrm{Now}\mathrm{cicle}\mathrm{passes}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{point}(0,2)\mathrm{hence}\mathrm{it}\text{'}\mathrm{s}\mathrm{distence}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{center}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{radius}. \\ \mathrm{This}\mathrm{implies}\mathrm{that}\sqrt{(\mathrm{a}-0{)}^2+(\mathrm{b}-2{)}^2}=\mathrm{radius}=\sqrt{8}\iff {\mathrm{a}}^2+(\mathrm{b}-2{)}^2=8 \\ \mathrm{By}\mathrm{putting}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{from}\mathrm{equation}(1)\mathrm{we}\mathrm{get}{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2=8\iff 2{\mathrm{a}}^2=8\iff \mathrm{a}=\pm 2 \\ \mathrm{Hence}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{equation}(1)\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{b}=4\mathrm{when}\mathrm{a}=2 \\ \mathrm{and}\mathrm{b}=0\mathrm{when}\mathrm{a}=-2 \\ \mathrm{So}\mathrm{we}\mathrm{get}(\mathrm{a},\mathrm{b})=(2,4)\mathrm{and}(2,-2) \\ \mathrm{But}\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{from}\mathrm{equation}(1)\mathrm{that}\mathrm{b}=\mathrm{a}+2\mathrm{and}\mathrm{note}\mathrm{that}(-2,2)\mathrm{not}\mathrm{satisfy}\mathrm{this}\mathrm{equation}(\mathrm{because}2\ne -2+2) \\ \mathrm{So}\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{center}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cicle}\mathrm{is}(\mathrm{a},\mathrm{b})=(2,4) \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cicle}\{(\mathrm{x}-\mathrm{a}{)}^2+(\mathrm{y}-\mathrm{b}{)}^2={\mathrm{r}}^2\}\mathrm{is}(\mathrm{x}-2{)}^2+(\mathrm{y}-4{)}^2=(\sqrt{8}{)}^2=8 \\ \mathrm{That}\mathrm{is}(\mathrm{x}-2{)}^2+(\mathrm{y}-4{)}^2=8 \end{gathered}$$