Question

find the equation of the circle which passes through the points (5,0)&(1,4)&whose centre lies on the line X+Y-3=0

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{centre}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{be}\mathrm{O}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right). \\ \mathrm{Let}\mathrm{A}\left(5,0\right)\mathrm{and}\mathrm{B}\left(1,4\right)\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{that}\mathrm{lie}\mathrm{on}\mathrm{circle}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{centre}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{lies}\mathrm{on}\mathrm{x}+\mathrm{y}-3=0,\mathrm{so}\mathrm{it}\mathrm{must}\mathrm{satisfy}\mathrm{it}. \\ \mathrm{a}+\mathrm{b}-3=0 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}=3.....\left(1\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{OA}=\sqrt{{\left(5-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(0-\mathrm{b}\right)}^2}=\sqrt{25+{\mathrm{a}}^2-10\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{OB}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{b}-4\right)}^2}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+1-2\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2+16-8\mathrm{b}}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{a}-8\mathrm{b}+17} \\ \mathrm{Now},\mathrm{OA}=\mathrm{OB}\left(\mathrm{Radii}\mathrm{of}\mathrm{same}\mathrm{circle}\right) \\ \Rightarrow \sqrt{25+{\mathrm{a}}^2-10\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{a}-8\mathrm{b}+17} \\ \Rightarrow 25+{\mathrm{a}}^2-10\mathrm{a}+{\mathrm{b}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{a}-8\mathrm{b}+17 \\ \Rightarrow -10\mathrm{a}+2\mathrm{a}+8\mathrm{b}=-8 \\ \Rightarrow -8\mathrm{a}+8\mathrm{b}=-8 \\ \Rightarrow \mathrm{a}-\mathrm{b}=1......\left(2\right) \\ \mathrm{adding}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 2\mathrm{a}=4\Rightarrow \mathrm{a}=2 \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{b}=1 \\ \mathrm{Now},\mathrm{OA}=\sqrt{25+{\left(2\right)}^2-10\times 2+1}=\sqrt{25+4-20+1}=\sqrt{10}\mathrm{units} \\ \mathrm{So},\mathrm{radius},\mathrm{r}=\sqrt{10} \\ \mathrm{Now},\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{is}, \\ {\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-\mathrm{b}\right)}^2={\mathrm{r}}^2 \\ \Rightarrow {\left(\mathrm{x}-2\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2=10 \end{gathered}$$