Question

find the equation of the locus of the point p,if the points a(1,2),b(3,4) are at equal distances from p

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{coordiantes}\mathrm{of}\mathrm{P}\mathrm{be}\left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right) \\ \mathrm{Given}:\mathrm{The}\mathrm{coordinates}\mathrm{of}\mathrm{A}\left(1,2\right)\mathrm{and}\mathrm{B}\left(3,4\right) \\ \mathrm{A}.\mathrm{T}.\mathrm{Q} \\ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} \\ \sqrt{{\left(\mathrm{h}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{k}-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(3-\mathrm{h}\right)}^2+{\left(4-\mathrm{k}\right)}^2}\left[\mathrm{using}\mathrm{distance}\mathrm{formula}\right] \\ \Rightarrow {\left(\mathrm{h}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{k}-2\right)}^2={\left(3-\mathrm{h}\right)}^2+{\left(4-\mathrm{k}\right)}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{h}}^2+1-2\mathrm{h}+{\mathrm{k}}^2+4-4\mathrm{k}=9+{\mathrm{h}}^2-6\mathrm{h}+16+{\mathrm{k}}^2-8\mathrm{k} \\ \Rightarrow 1-2\mathrm{h}+4-4\mathrm{k}=9-6\mathrm{h}+16-8\mathrm{k} \\ \Rightarrow 5-2\mathrm{h}-4\mathrm{k}=25-6\mathrm{h}-8\mathrm{k} \\ \Rightarrow -2\mathrm{h}+6\mathrm{h}-4\mathrm{k}+8\mathrm{k}=20 \\ \Rightarrow 4\mathrm{h}+4\mathrm{k}=20 \\ \Rightarrow \mathrm{h}+\mathrm{k}=5 \\ \mathrm{Now}\mathrm{replacing}\mathrm{h}\mathrm{by}\mathrm{x},\mathrm{and}\mathrm{k}\mathrm{by}\mathrm{y},\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}=5. \end{gathered}$$