Question

Find the factors of $a(b^4-c^4)+b(c^4-a^4)+c(a^4-b^4)$.

Answer 1

We can write above equation as
$a(b^4-c^4)-b(b^4-c^4+a^4-b^4)+c(a^4-b^4)$
$=a(b^4-c^4)-b(b^4-c^4)-b(a^4-b^4)+c(a^4-b^4)$
$=(b^4-c^4)(a-b)+(a^4-b^4)(c-b)$
$=(b^2-c^2)(b^2+c^2)(a-b)+(a^2-b^2)(a^2+b^2)(c-b)$
$=(b-c)(b+c)(b^2+c^2)(a-b)+(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(c-b)$
$=(b-c)(a-b)\left(\right(b+c\left)\right(b^2+c^2)-(a+b\left)\right(a^2+b^2\left)\right)$
$=(b-c)(a-b)(b^3+b{c}^2+c{b}^2+c^3-a^3-a{b}^2-b{a}^2-b^3)$
$=(b-c)(a-b)\left(bc\right(c+b)-ab(a+b)+(c-a\left)\right(c^2+a^2+ac\left)\right)$
$=(b-c)(a-b)\left(b\right(c^2+cb-a^2-ab)+(c-a\left)\right(c^2+a^2+ac\left)\right)$
$=(b-c)(a-b)\left(b\right(c^2-a^2)+b^2(c-a\left)\right)+(c-a)(c^2+a^2+ac))$
$=(b-c)(a-b)(c-a)\left(b\right(c+a)+b^2+c^2+a^2+ac)$
$=(b-c)(a-b)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ac+bc+ab)$