Question

Find the following limit:
$\underset{x\to a}{lim}\frac{\cos x-\cos a}{x-a}.$

Answer 1

$\underset{x\to a}{lim}\frac{\cos x-\cos a}{x-a}$

$=\underset{x\to a}{lim}\frac{-2\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\left(\frac{x-a}{2}\right)\times 2}[\cos C-\cos D=-2\sin \left(\frac{C+D}{2}\right)\sin \left(\frac{C-D}{2}\right)]$

$=\underset{x\to a}{lim}-\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\underset{x\to a}{lim}\frac{\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\left(\frac{x-a}{2}\right)}$

$=-\sin \left(\frac{a+a}{2}\right)\underset{x\to a}{lim}\frac{\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\left(\frac{x-a}{2}\right)}$

$=-\sin \left(\frac{2a}{2}\right)\times 1$

$=-\sin a$.